KC sinha class 10 Exercise-8.4 Question 15 solution

 Prove that by identities

(i) (1-cos𝜃) (1+ cos𝜃) ( 1+cot²ፀ)=1

solution:-

LHS= (1-cos𝜃) (1-cos𝜃)( 1+cot²ፀ)

      =( 1- cos²ፀ) ( 1+cot²ፀ)

      =(sin²ፀ) (cosec²ፀ)

      =1 =RHS proved...

(ii) {(1+sinፀ)²+  (1 - sinፀ)²}/2cos²ፀ  = (1+sin²ፀ)/(1 -sin²ፀ)

solution:- 

LHS= {(1+sinፀ)²+  (1 - sinፀ)²}/2cos²ፀ

     ={1 +2sinፀ+ sin²ፀ + 1 - 2sinፀ + sin²ፀ}/2cos²ፀ

     =1+ sin²ፀ +1+ sin²ፀ /2cos²ፀ

    =2(1+ sin²ፀ)/2(1 - sin²ፀ)

    =(1+sin²ፀ)/(1 -sin²ፀ) =RHS proved 

(iii) cos²ፀ(1-cos𝜃)/sin²ፀ (1 - sinፀ) = (1+sinፀ)/(1+ cos𝜃) 

solution:-

LHS=  cos²ፀ(1-cos𝜃)/sin²ፀ (1 - sinፀ)

     =(1 -sin²ፀ)(1-cos𝜃)/(1- cos²ፀ ) (1 - sinፀ)

    = (1 - sinፀ) (1 + sinፀ) (1-cos𝜃)/(1-cos𝜃) (1+cos𝜃) (1 - sinፀ)

    = (1 + sinፀ)/ (1+cos𝜃) = RHS proved

(iv) (sinፀ - cosፀ)²= 1 - 2 sinፀ cosፀ

solution:-

LHS= (sinፀ - cosፀ)²

= sin²ፀ -  2 sinፀ cosፀ + cos²ፀ   ( we know that sin²ፀ + cos²ፀ = 1 )

= 1 - 2 sinፀ cosፀ  = RHS proved 

(v) (sinፀ + cosፀ)²+ (sinፀ - cosፀ)²= 2

 solution:- 

LHS =(sinፀ + cosፀ)²+ (sinፀ - cosፀ)²

       = sin²ፀ +  2 sinፀ cosፀ + cos²ፀ   + sin²ፀ -  2 sinፀ cosፀ + cos²ፀ  ( we know that sin²ፀ + cos²ፀ = 1 )

      = 1 + 1 = 2 = RHS  proved...